역사상 가장 위대한 발견이라는 미적분의 기본정리는 뉴튼과 라이프니쯔의 업적이라고 합니다.
그러나 뉴튼과 라이프니쯔가 이것을 발견하기까지에는 앞서 수없이 많은 수학자들 과학자들 보통사람들의 수천년간 노력과 시행착오 그리고 조금씩의 진전이 있었습니다.
Quadrature
곡선으로 둘러싸인 곡선아래의 정확한 면적을 구하는 문제는 여러 수학자들의 관심사였고 도전과제였습니다.
직선으로 둘러싸인 면적은 y=(a*b) y=1/2(a*b) 등으로 쉽게 구할 수 있었지만 원의 정확한 면적(파이, 원주율)을 구하는 문제와 함께 곡선으로 둘러싸인 곡선아래의 정확한 면적을 구하는 문제는 쉽지 않은 문제였습니다.
뉴튼과 라이프니쯔 시대 이전에는 함수 x(n)의 구간 [0,a]의 곡선아래 면적을 구하는 공식이 알려져 있었습니다.
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뉴튼과 라이프니쯔는 이 문제를 일반화 하여 역사상 가장 위대한 발견이라는 미적분의 기본정리를 만들어 냈습니다.
그러나 뉴튼과 라이프니쯔는 infinitesimal의 개념을 (오늘날 dx, dy에 대한) 엄밀한 정의없이 사용하였습니다.
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어떤때는 infinitesimal o(dx)는 zero가 되기도 하고 또 어떤때는 zero가 아닌 어떤 작은 수로 사용하였습니다.
이것을 엄밀하게 증명하는데는 그 후 150년이 지나서야 코시에 의해서 해결이 됩니다.
이글의 목적은
Fundamental Theorem of Calculus 미적분의 기본 정리가 이해하기 어렵다는 것입니다. 그러나 그것은 이런 과정의 설명없이 결과만을 가르치기 때문입니다.
뉴튼의 미적분의 기본정리 발견과정은 binomial theorem (or binomial expansion)과 infinitesimal(그양 아주 작은 어떤 수 extremely small) 그리고 사각형의 공식 등만 이해하면 누구나 쉽게 이해할 수 있는 것입니다.
물론 그 당시에는 혁신적인 발견이었지만 오늘날의 기준으로 보면 그다지 어렵지 않게 이해할 수 있습니다.
그러나 코시의 엄밀한 증명(limit 극한의 개념, infinitesimal, an indefinitely small quantity; a value approaching zero)을 이해하려면 매우 어렵습니다.
그런데 교과서에서는 뉴튼의 미적분의 기본정리 발견과정 보다는 코시의 엄밀한 증명 방법으로 가르치기 때문에 매우 이해하기 어려운 것입니다.
물론 수학은 엄밀한 증명이 기본입니다. 그러나 그것은 수학자들에게 맞기면되는 것입니다. 그리고 한번 증명해놓은 아주 어려운 엄밀한 증명은 그냥 수학자들을 믿고 사용하면 됩니다.
수학자가 아닌 공학자나 학생들이 입장에서는 엄밀한 수학적인 증명보다는 전체적인 개념을 이해하는 것이 더 중요합니다. 당시 뉴튼과 라이프니쯔도 그렇게 접근했습니다. 엄밀한 증명보다는 새로운 접근방법을 통해서 새로운 발견을 하는 것을 더 중요시 했기 때문입니다.
