Math for future engineers and entrepreneurs

영국의 엔지니어였던 올리버 헤비사이드는 미분방정식의 문제를 대수학의 문제로 트랜스폼해서 문제를 풀었는데 수학자들은 그의 방법이( 실제로는 그의 태도가 )맘에 안들어 무시하고 있었는데 (실제로 수학자들은 문제를 고상하고 우아하게 만들어야 하는 직업^^) 나중에 보니 그의 방법이 꽤 쓸만한 것이었다.

그래서 라플라스는 그의 아이디어와 방법을 가지고 라플라스 트랜스폼이라는 것을 만들어 냈다. 그래서 이후에는 올리버 헤비사이드보다 라플라스의 방법이 널리 쓰이게 되었다. (사실은 올리버의 명성을 라플라스가 차지한 것)

전기공학의 문제는 기본적으로 미적분의 문제다. 전선을 통해서 전하가 흐르는 것을 분석하려면 기존의 대수학으로는 분석이 안된다. 순간 변화율 같은 것을 구해야 하기 때문에 미분 방정식을 풀어야 하는 것이다.

#Problem Describe the pain of your customer. How is this addressed today and what are the shortcomings to current solutions.

헤비사이드는 실제로 그런 문제를 매일 풀면서 새로운 방법(idea)을 생각해낸 것이다. 그러나 수학자들은 그의 아이디어와 방법을 수학적으로 정교하지 못했다고 싸잡아 비난하다가 나중에 그의 공로를 차지해 버렸다.

미적분학은 매우 어려운 것이라고 생각하지만 위대한 수학자들이 정리하고 증명해 놓은 미적분은 결과만 이용하는 입장에서는 그렇게 어려운 것이 아니다.

미분은 추상적으로는 순간 변화율이고 접선의 기울기이다. 물리적으로는 속도를 미분하면 가속도가 나오는 것이다.

(부정) 적분은 미분을 거꾸로 하는 것이다. 수학자들은 어떤 함수가 미분 가능하고 함수의 연속이라는 것은 무엇이고 실수(real number)는 무엇이고 함수들을 어떻게 미분할 수 있는지 지난 200여년 동안 다 정리했다. 물론 아직도 어려운 함수가 남아 있기는 하다.

적분은 미분을 거꾸로 하는 것이기 때문에 좀더 어렵다. 그러나 수학자들은 그것도 여러가지 방법을 통해서 많이 정리해 놓았다.

Math for future engineers and entrepreneurs는 그것들을 가져다가 고맙게 잘 이용하면서 세상에 쓸만한 물건을 만들어 내는 것이 목표다. 수학적인 증명은 수학자들이 할 일이다. 너무 자세히 들어가면 머리만 아프고 돈도 안된다.

미적분의 기본 정리가 위대한 것은 서로 관련이 없던 것 같았던 미분(순간변화율 접선의 기울기)와 (정)적분(면적을 구하는 것)이 서로 연관이 되어 있고 아주 간단하게 구할 수 있다는 것을 밝혀내고 증명하였다는 것이다. 유레카!

함수 f(x)로 둘러싸인 구간 [a,b]의 면적을 F(b) — F(a) 이렇게 간단히 적분값을 구할 수 있게 된 것이다.

왜 그런지는 그냥 대충넘어가면 된다. 자세히 알아도 별로 인생에 도움이 되지 않는다.

그렇게 미적분을 세상의 거의 모든 현상을 분해하고 해석할 수 있는 도구가 되었다. ( 이걸로도 못푸는 문제가 지금 딥러닝으로 풀고 있는 것들… 그러나 나중에 이것들이 서로 다 연관되어 질 수 도 있지 않을까?) (생명과학 생명공학은…)

그런데 대한민국 수학교육은 수학자들이 이미 풀어논 문제를 이해하는데 또는 비비 꼬아놓은 시험문제를 푸는데 집중되어 있어서 인생에 별로 도움이 안된다. (물론 명문대 들어가는데는 도움이 되니 그런 도움이 도움이 되는 도움이 있다고 할 수 있다. )

그러나 future engineers and entrepreneurs는 헤비사이드나 퓨리에처럼 수학적 이론보다는 #Problem Describe the pain of your customer. How is this addressed today and what are the shortcomings to current solutions.에 집중해야 한다. 그래야 engineers and entrepreneurs가 될 수 있다.

푸리에도 엔지니어였다. 그는 문제를 풀다가 모든 함수가 사인 코사인의 조합으로 될 수 있다는 생각(idea)를 했다.

그래서 푸리에 시리즈가 나온 것이다. 그때로 헤비사이드와 마찬가지로 당대의 위대한 수학자들이 테클을 걸었다. 그러나 지금 푸리에의 방법은 수학 과학 공학에서 없어서는 안되는 것이 되었다.

푸리에 시리즈와 푸리에 트랜스폼

라플라스 트랜스폼은 s 도메인으로 함수를 트랜스폼 하면 미분방정식이 대수학으로 쉽게 풀수 있게 해준다.

푸리에 트랜스폼과 그 역은 타임 도메인과 주파수(frequency) 도메인간의 변환이다.

푸리에 시리즈는 어떤 함수를 서로 다른 주파수를 가진 여러 사인 코사인 함수의 합으로 표현하는 것이다. 주파수와 주기는 서로 역의 관계이다. 각 주파수의 크기(amplitude) 찾아내는 것은 모든 항이 소거되고 한 항만 남는 특성을 이용해서 가능했다.

푸리에 트랜스폼을 이용해서 함수를 이리저리 가지고 노는 것이 전기전자 공학의 한 분야이고 지금은 이미지 처리나 양자역학에도 활용되고 있다. 너무 어렵게 생각하지 말자. 그냥 어떤 함수를 서로 다른 (주파수,amplitude)의 조합으로 표현하여 이리저리 가지고 놀다보면 여러 문제가 쉽게 풀리는 것이다.

푸리에 변환과 라플라스 변환은 다 적분인데 그 적분은 대충 생각해 보면 어떤 구간에서 다 0이 되거나 상쇄되어 사라지고 간단한 식만 남기 때문에 그렇게 어렵지 않다.

그리고 델타 함수가 있어서 문제를 더 쉽게 만들어 준다.

결론

수학자가 아닌 공학자 기업가의 입장에서는 미적분 하나도 어려울 것이 없다. 너무 깊이 자세하게 알려고 하지 말자. 수학자들을 칭찬해 주면서 잘 교류하자.

Founder & Chief Visionary Officer Startup Central, Serial Entrepreneur, Entrepreneurial Philosopher, MS in Software Engineering

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