미적분이 어렵지 않은 이유
수학은 산수(arithmetic)로 시작한다. 1+1=2, 5+6=11, 6–5=1, 5–5=0, 6–5=-1. 1/2, 1/3, 0.5, 0.33333 여기까지는 쉽다.그 다음은 대수학(algebra)이다.
x(2)+2x+3=5 이식을 만족하는 x는?
이차 방정식은 수학자들이 발견한 근의 공식에 집어넣으면 답이 바로 나온다. 그다음은 3차 방정식. x(3)=-1 이것은 좀 어렵다. i(2) = -1 수학자들은 상상의 수(imagenary number; 이걸 왜 허수라고 번역했는지…)를 만들어냈다. 0이라는 개념을 만들고 받아들이기까지 오래걸린 것처럼 상상의 수(imagenary number)를 받아들이는 것도 많은 시간이 필요했다. 그러나 오늘날 수학에서 0(zero)와 상상의 수가 없는 것은 상상하기 어렵다.
이제 미적분(Calculus).
미적분은 이제까지 다루던 숫자와 미지수와는 다른 차원이다. 고대로부터 수학자 과학자들은 무한대와 무한소에 대해서 생각해 왔다. 1+1/2+1/3+1/4+……+1/n을 더하면 어떤수가 나올까? n →무한대로 하면 이 합은 어떻게 될까?
원에 내접한 삼각형을 어느정도까지 늘리면 정확한 원의 면적을 구할 수 있을까?
평군속도는 (A-B)/t이다. A지점에서 B지점까지 간 거리를 시간으로 나누면 속도가 된다. 그러면 시간이 0(zero)에 무한정 가까워지면 순간 속도는 어떻게 될까?
이런 문제를 해결하려고 하다가 만들어진 것이 미적분(Calculus)이다. 미적분은 산수(arithmetic)가 숫자(number)를 다루는 것과 대수학(algebra)가 미지수를 다루던 것과는 다르다. 그래서 어렵게 느껴진다.
왜냐하면 Δx →0으로 갈때 주어진 식(함수 function)의 값이 어떻게 되는가를 다루기 때문이다. (x=1/n으로 하면 n →무한대로 갈때 x→0으로 간다.) 그런데 Δx→0으로 간다는 것은 무엇을 의미하는 것일까? 얼마나 작아야 Δx→0일까? 이문제는 뉴튼 라이프니쯔이후에 150년동안 많은 수학자가 매달린 문제다. 그러다가 짜잔 코시라는 수학자가 e(엡실론), Δ(델타)를 가지고 엄밀하게 정의를 하는데 성공했다. 스타 탄생의 순간.
쉽게 생각해 보면 아래 수직선에서 자연수 정수 유리수는 항상 그 사이에 새로운 숫자를 생각할 수 있다. 빈틈이 있는 것이다. 그런데 Δ의 간격으로 나누고 Δ →0으로 보낸다고 생각해보자. 1과 2 사이에는 1/2 다시 1과 1/2사이에는 1/4처럼 무한히 중간에 숫자를 끼워 넣을 수 있지만 Δ →0으로 보낸다는 것은 0 < e < Δ와 같은 e는 없다는 것이다.
이것이 바로 극한(limit)이다. 미적분은 산수 대수학과 다른게 Δx가 0으로 갈때 (Δx →0) 함수(의 값)을 구하는 문제이다.
그런데 다행스럽게도 뉴튼은 이항정리의 일반화를 통해서 다항식을 미분하는 방법을 고안해냈다. x(2)을 미분하면 2x, x(3)을 미분하면 3x(2) 이렇게 간단한 답이 나온다. Δx →0으로 갈때 함수 x(2)의 값은 그냥 2x다. Δx →0으로 갈때 함수 x(3)의 값은 그냥 3x(2)이다.
삼각함수나 지수함수 로그함수도 모두 수학자들이 미분 공식을 발견하고 정리해 놓았기 때문에 그냥 이용하면 된다. 더우기 요즘은 그냥 컴퓨터 소프트웨어를 쓰면 된다.
다음 사진에서 처럼 리만합을 델타를 0에 한없이 가까이 가게 하면 적분식으로 표현할 수 있고 (리만합을 실제로 계산해서 더한다고 생각하면 엄청난 일이 될 수 있습니다. 그러나 미적분의 기본정리를 이용하면) 그것은 F(b)- F(a)와 같이 간단히 구할 수 있는 것입니다.
그래서 수학자 엔지니어 과학자들은 우리에겐 미적분의 기본정리가 있다!!! 오~예~~
그리고 루트 2와 파이를 수직선상에 정확하게 위치시키는 방법에 대해서 생각해보면 밑변 높이가 각각 1인 직각 삼각형을 수직선상에 0의 좌표에 시작점을 올려놓고 그 밑변을 기울여서 수직선과 포개면 정확하게 투트2의 위치를 잡게된다.
파이는 반지름이 1인 원을 수직선상에서 굴리면 정확하게 위치시킬 수 있다.
그러나 이것은 어디까지나 수학적인 이론적인 추상적인 것이다. 물리학적으로 생각하면 이것은 언제나 불가능하다. 왜냐하면 오차없이 정확한 길이를 재는 것은 불가능하기 때문이다.
부정적분(indefinite integral)은 그냥 미분을 거꾸로 하는 것이다. 그래서 조금 더 어렵다. 모든 함수를 부정적분(indefinite integral)하는 방법을 찾지는 못했지만 그래도 왠만한 문제는 다 풀었다.
그런데 정적분(definite integral)은 사실 미분과 부정적분(indefinite integral)과 아무 상관이 없는 것이었다. 직사각형이나 삼각형 평행사변형 원과 같은 알려진 방법으로 면적을 구할 수 있는 것이 아닌 다양한 것들의 면적을 구하는 문제는 수천년동안 수학자들의 골치를 썩이는 문제였다.
그런데 뉴튼과 라이프니쯔 시대에 드디어 수학의 가장 위대한 발견이 이루어진다. 정적분을 부정적분과 연결하여 간단하게 풀수 있는 방법이 발견된 것이다. 그것이 인류 역사상 가장 위대한 발견중의 하나라는 미적분의 기본정리(fundamental theorem of Calculus).
이제 함수 f(x)의 곡선아래 구간[a,b]로 둘러싸인 면적은 Sf(x)dx[a,b] = F(b) -F(a)처럼 간단하게 구할 수 있게 된 것이다. Thanks god! (여기서 F(x)는 f(x)의 부정적분(definite integral))
미적분의 기본정리는 곡선아래 면적 뿐만 아니라 구의 면적 선의 면적 등 기본정리를 확장해 수많은 다른 문제를 풀수있게 되어 현대 수학과 과학기술의 발전에 크게 기여한다.
특히 라이프니쯔의 표기법을 쓰면 dy/dx처럼 미적분은 그냥 분수처럼 생각해도 된다. (물론 여러가지 제약사항이 있지만 그것은 수학자들이 알아서 다 해결해 주었다.)
[참고]Fundamental Theorem of Calculus
https://medium.com/@albertseewhy/fundamental-theorem-of-calculus-ec1fc3d266cd
미적분은 이제 많은 것들이 공식으로 만들어져 있고 컴퓨터 소프트웨어로 구현되어 있어 그냥 사용하면 되는공학 과학의 도구이다.
미적분은 산수 대수학과 다른게 Δx가 0으로 갈때 (Δx →0) 함수(의 값)을 구하는 문제인데 미분공식은 이미 다 만들어져 있으니 그냥 이용하면 된다. 그리고 적분의 경우에는 리만합을 정적분 형태로 바꾸어서 적분하여 구하면 된다. (나중에 더 자세히 설명)
미적분 너무 어렵게 생각하지 말자.
(그런데 미적분으로 풀리지 않는 문제도 있고 함수를 적분하는 것과 미분 방정식을 푸는게 매우 어려워서 불가능한 문제들도 나타나게 된다. 이때 하나의 새로운 방법으로 등장한 것이딥러닝이다…)
[ 역사 속으로 ]
상상의 수(imagenary number)는 나중에 complex numbers (a+bi, a-bi)로 발전하여 많은 공학적 현상을 설명하고 풀어내는데 중요한 역할을 차지한다.
Oliver Heaviside, who adapted complex numbers to the study of electrical circuits
[CalTech] 029. Laplace Transform Summary: Definition, Properties https://www.youtube.com/watch?v=V-DKcohQEvg&t=1s
((
이 강의에 아주 중요한 내용이 나온다.
Heaviside Operator -> Laplace Transform, special case of Heaviside Operator -> Fourier Transform, special case of Laplace Transform
올리버 헤비사이드,퓨리에 같은 엔지니어들이 전기회로 문제를 풀기위해 고안한 Operator들이 …
이런 (역사적) 과정 그리고 그 과정에서의 엔지니어들의 발상과 시행착오 문제를 풀어내는 과정들을 알아야 (그리고 나중에 수학자들이 그것을 엄밀하게 증명하고 정리한 것) 라플라스 트랜스폼 퓨리에 트랜스폼등 복잡하고 난해해 보이는 이론을 잘 이해할 수 있다.
그렇지 않고 나중에 수학자들이 그것을 엄밀하게 증명하고 정리한 것만 보고 가르치거나 공부하는 것은 복잡하고 난해한 문제를 잘 이해할 수 없게 된다. (그러데 대부분 학교에서 이런 방법으로 가르친다) 그래서 이런 명문대의 뛰어난 교수님이 강의하는 것을 들어봐야 한다.
이런 (역사적) 과정 그리고 그 과정에서의 엔지니어들의 발상과 시행착오 문제를 풀어내는 과정들을 알아야 (그리고 나중에 수학자들이 그것을 엄밀하게 증명하고 정리한 것) 라플라스 트랜스폼 퓨리에 트랜스폼등 복잡하고 난해해 보이는 이론을 잘 이해할 수 있다.
그렇지 않고 나중에 수학자들이 그것을 엄밀하게 증명하고 정리한 것만 보고 가르치거나 공부하는 것은 복잡하고 난해한 문제를 잘 이해할 수 없게 된다. (그러데 대부분 학교에서 이런 방법으로 가르친다) 그래서 이런 명문대의 뛰어난 교수님이 강의하는 것을 들어봐야 한다.))
강의 앞부분에 올리버 헤비사이드의 일화가 소개되는데… 나중에 라플라스 트랜스폼( Laplace transforms)이라고 불리는 것은 올리버는 스스로 공부한 엔지니어 였기때문에 엄밀한 증명없이 electrical circuits의 문제를 풀기위해서 고안한 것인데… 수학자들(문제를 증명하는 것이 생업인… 때로는 아무 쓸데없는 문제를 증명하는…)과 많이 싸웠다.
나중에 수학자들이 그의 방법을 “어 이거 쓸만한데” 하고 복잡한 증명과정을 통해서 증명했는데 그중에 라플라스가 있었다. 그래서 라플라스 트랜스폼이라고 불리는 것이다. (사실은 올리버가 증명빼고 다 한 것인데…)
여기서 중요한 것은 수학자들과 싸우지 말고 나이스하게 잘해라(그래야 역사에 이름이 잘 남는다)…ㅎㅎ 라는 교훈이다. 라고 교수님이 말씀하심…
중요한 것은 엔지니어 & entrepreneur (기업가적 엔지니어)는 (엄밀한 증명은 수학자들에게 맞기고) 문제를 푸는 것과 그것으로 경제적 가치를 만드는 방법을 잘 생각해야 한다.
그리고 수학자들과 친하게 잘 지내자 ㅎㅎㅎ
역사적 교훈은 에디슨도 그렇고 니콜라 테슬라도 그렇고 실제 문제를 해결하는 과정이 중요하고 그것을 사업으로 만드는 능력이 더 중요하다. 에디슨과 테슬라도 그부분에서 갈라지는데 에디슨은 사업적으로 크게 성공하여 그의 회사는 GE의 모태가 되었지만 테슬라는 엄청난 발명과 성과를 냈지만 웨스팅 하우스를 위해 나이아가라 폭포의 교류 발전소에 대한 그의 특허와 권리를 포기하는 등 사업적으로 냉정하지 못해서 사업적으로 실패한다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside
Oliver Heaviside(/ˈhɛvisaɪd/; 18 May 1850–3 February 1925) was an English self-taught electrical engineer, mathematician, and physicist who adapted complex numbers to the study of electrical circuits, invented mathematical techniques for the solution of differential equations (equivalent to Laplace transforms), reformulated Maxwell’s field equations in terms of electric and magnetic forces and energy flux, and independently co-formulated vector analysis. Although at odds with the scientific establishment for most of his life, Heaviside changed the face of telecommunications, mathematics, and science for years to come.
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