미적분의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)를 교과서에 나온 엄밀한 증명 과정으로 이해하는 것은 매우 어렵다.
밥먹고 수학만 하는 수학자가 아니라면 더욱 그렇다. 그러나 아래 칼텍의 강의에서 설명하는 것을 따라가면 직관적으로 이해할 수 있다. 미적분의 기본정리는 이런 과정과 생각에서 발견하고 나중에 엄밀하게 증명한 것이다.
엔지니어들의 입장에서는 이런 정도로만 이해하고 미적분의 기본정리를 이용하면 충분하다고 생각된다. 왜냐하면 엔지니어는 새로운 유용한 것을 만들어내는 것이 더 중요하지 엄밀한 수학적 증명이나 수학적 발견을 하는 것이 주역할이 아니기 때문이다.
아무리 위대한 수학적 발견과 증명이라도 그것이 세상에 당장 아무런 도움이 되지 않을 수도 있다. 수십 수백년 후에야 그것의 유용한 사용처가 나올 수 도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 물론 수학은 유용한 사용처를 염두에 두고 하는 학문이 아니다. 그러나 엔지니어 기업가는 돈을 벌어야 한다.(ㅎㅎ)
엔지니어와 기업가들은 세상에 필요한 새로운 유용한 물건을 만들어내는 것이고 수학자의 역할은 수학 공식을 만들어 내고 그것을 엄밀하게 증명하는 것이다.
Introductory Circuits and Systems, Professor Ali Hajimiri California Institute of Technology (Caltech)
011. Singularity Functions: Introduction, Unit Step, Pulse, and Dirac Delta (Impulse) Functions https://youtu.be/bjrS-qMw3OY
위의 함수 x,y좌표에서 함수 f(x)의 곡선아래 구간 [a,b]를 Δ의 간격으로 나누고 {n= (b-a)/Δ } 잘게 나누어진 사각형의 면적은 f(x)Δ이고 이것들을 다 더하면 함수 f(x) 곡선아래 면적에 가깝게 된다.
이 값을 곡선아래 면적과 정확하게 같게 하려면 Δ →0 하면 된다. 이 값은 함수f(x)의 적분함수 F(x) ( 다시 말하면 미분하면 f(x)가 되는 함수의 F(b) — F(a)로 간단하게 구해진다.
그 과정을 나타낸 것이 아래의 수식이다. 미적분의 기본정리는 이런 과정과 생각에서 발견하고 나중에 엄밀하게 증명한 것이다. 나중에 교과서에 엄밀한 증명만을 보고서는 이 개념을 직관적으로 이해하기 어렵다.
수학의 발전 과정에서는 이렇게 처음에는 여러 아이디어를 시도해 보다가 엄밀한 증명없이 문제를 풀고 그 다음에 엄밀한 증명을 우아하게 정리해 놓은 경우가 대부분이다. 수학자들도 처음부터 우아하게 멋있는 수식을 만든것이 절대로 아니다. 그래서 나중에 교과서에 엄밀한 증명만을 보고서는 수학자들이 깔끔하게 정리해논 수식의 개념을 직관적으로 이해하기는 매우 어렵다.
위의 식의 전개에서 직관적으로 이해할 수 없는 것은 Δ →0 으로 접근한다는 극한(limit)의 개념이다. 그러나 이것은 코시가 엄밀한 증명을 했기 때문에 그냥 그런가 하면 된다. (ㅎㅎ) 엔지니어 입장에서는 아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주아주 0에 가까운 것보다 더 가까운 것보다 더 가까운 것이라고 생각하면 된다.(ㅎㅎㅎ)
그래도 궁금하면 코시의 증명(엡실론 델타)를 읽어보면 된다. 그러다가 해석학(analysis)에 흥미를 느끼면 아래 책들을 읽어보자.
아래는 미적분의 기본정리를 거꾸로 이용하는 것이다.
펄스 함수 PΔ(t)는 0=<t< Δ에서만 1이고 나머지는 0(zero)인 성질을 이용하여 원래 함수 f(t)를 찾는 것이다. 미적분의 기본정리가 함수 f(t)를 가지고 함수 곡선아래 구간 [a,b]의 면적을 찾는 문제였다면 이제 거꾸로 구간 [a,b]의 작은 사각형 면적(펄스함수)를 이용하여 원래 함수를 구하는 문제이다.
미적분의 기본정리에서는 f(x)Δ의 값을 무한히 작게하여 면적을 구했다면 펄스 함수 f(t)PΔ(t)의 값을 무한히 작게해서 원래 함수 f(x)를 구하는 것이다.
먼저 이산(discrete)식의 형태로 기술하고 나중에 이것을 연속(continuous) 형태로 바꾸면 적분의 형태가 된다.
위의 식에서 노랑색(?) 대괄호 안에 있는 수식을 보면 시그마로 합을 구하는 것처럼 보이지만 실제로는 함수의 변수 t가 한번에 어떤 한 구간에만 있기 때문에 다른 모든 항은 0(zero)가 되고 딱 한 항만 값을 가진다는 것을 알 수 있다. (나중에 퓨리에 시리즈에서도 이런 현상을 이용한다.)
그래서 딱 하나의 펄스 함수만 0이 아닌 값을 가지기 (f(τ)의 값이 주어지면) 모든 t에 대해서 때문에 f(t)를 구할 수 있는 것이다.
[CalTech]
011. Singularity Functions: Introduction, Unit Step, Pulse, and Dirac Delta (Impulse) Functions https://youtu.be/bjrS-qMw3OY
012. Linear Systems: Dirac Delta, Sifting Property, Impulse Response, LTI, Convolution https://youtu.be/sNobxCfYCD8
013. Linear Systems: Convolution, Examples of System Response, Convolution Examples https://youtu.be/R7nLi4ESz50
[MIT]
Step Function and Delta Function https://www.youtube.com/watch?v=ECslmuGlu-U
[Khan Academy]
Dirac delta function | Laplace transform | Differential Equations | Khan Academy https://www.youtube.com/watch?v=4qfdCwys2ew&t=617s
