[ 알버트 수학 이야기 ] 뉴튼처럼 생각하기

“Not so fast, Isaac!”

When Newton divided by o, that quantity most certainly was not zero. A monent later, it was zero. There, in a nutsshell, lay the rub. This zero/nonzero dichotomy would trouble analysts for the next century and then some.

The Calculus Gallery에 나오는 구절이다.

뉴튼이나 라이프니쯔 같은 위대한 수학자들이 미적분을 발명하는 과정은 엄밀함 보다는 아이디어의 발상 여러 시도와 시행착오 등이 중요한 부분이있다.

그러나 지금 학교수학은 이미 증명된 수학의 이론을 익히는 것에 너무 집중하여 본래 수학의 즐거움이 많이 사라졌다.

수학은 아이디어의 착안과 그것을 풀어나가는 과정이 즐거운 것이다. 그러나 엄밀한 이론만 너무 강조하면 그 즐거움이 사라진다.

뉴튼처럼 생각하고 문제를 찾고 그것을 해결하는 아이디어를 착안하고 여러 시도를 해보고 끊임없고 지치지 않는 도전을 하는 것이 수학의 진짜 즐거움이다.

만일 엄밀한 이론만 강조했다면 뉴턴과 라이프니쯔는 미적분을 발명하지 못했을 지도 모른다. 그들이 개척한 미적분의 신세계는 나중에 150여년에 걸처 많은 수학자들이 엄밀한 증명을 통해서 수학적 엄밀성을 완성 했지만 미적분의 활용가치는 뉴튼과 라이프니쯔의 그것과 크게 달라지지 않았다.

미적분 쉽게 생각하기

아래 칸 아카데미 강좌에서 Sal Khan이 Line integral 을 설명하는 과정을 보면 dt/dt는 원래 분수가 아니고 심볼인데 대수학(Algebra)에서의 심볼처럼 취급해 분수로 생각하고 식을 전개하는 것을 보고 놀라거나 이해하지 못하거나 당황할 수 있다.

Khan Academy
Introduction to the line integral | Multivariable Calculus |
https://youtu.be/_60sKaoRmhU

뉴튼처럼 그냥 dt/dt를 분수처럼 생각하고 문제를 풀어나가는 것이다.

수학자 공학자들은 원래 Integral f(x)dx는 하나의 기호였는데 점차 dx, dy를 별도의 기호처럼 사용하여 문제를 풀어나가기 시작했고 그것의 엄밀성을 다루는 것은 또다른 차원에서 수학의 한갈레로 만들어지고 있다.

그러니 복잡한 것은 수학자들에게 맞기고 편하게 이런 테크닉을 사용하면 된다. 물론 수학자들에게 감사를 표하면 더욱 좋고 주변에 그런 수학자 동료가 있으면 더더욱 좋다.

- 비표준 해석학(非標準解析學, 영어: nonstandard analysis)은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다.
https://ko.wikipedia.org/wiki/비표준_해석학

- 비표준 해석학에서, 초실수(超實數, 영어: hyperreal)는 무한대와 무한소를 포함하지만 실수에 대한 모든 1차 논리 명제가 그대로 성립하는 수 체계이다.
https://ko.wikipedia.org/wiki/초실수